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【資料圖】

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神經(jīng)網(wǎng)絡是一種模仿人腦神經(jīng)元工作原理的計算模型，用于實現(xiàn)機器學習和人工智能系統(tǒng)。它由一系列相互連接的神經(jīng)元（也稱為節(jié)點或單元）組成，這些神經(jīng)元組織成不同的層。神經(jīng)網(wǎng)絡通常包括輸入層、一個或多個隱藏層和輸出層。每個節(jié)點根據(jù)其輸入數(shù)據(jù)和相應的權(quán)重計算輸出值，并通過激活函數(shù)進行非線性轉(zhuǎn)換。 神經(jīng)網(wǎng)絡可以通過學習和調(diào)整權(quán)重實現(xiàn)自適應，從而在處理復雜問題（如圖像識別、自然語言處理和游戲策略等）時具有很高的靈活性。訓練神經(jīng)網(wǎng)絡的過程通常包括使用大量輸入數(shù)據(jù)和期望輸出，計算損失函數(shù)（用于衡量網(wǎng)絡輸出與期望輸出之間的差距），并使用優(yōu)化算法（如梯度下降法）調(diào)整權(quán)重以最小化損失。 神經(jīng)網(wǎng)絡是深度學習的核心組成部分，深度學習模型通常包含多個隱藏層，從而能夠?qū)W習更復雜數(shù)學表示和抽象概念。?下面以一個簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡（用于解決 XOR 問題）為例，說明神經(jīng)網(wǎng)絡中的各個概念。該神經(jīng)網(wǎng)絡示例中，包含一個輸入層（2個節(jié)點），一個隱藏層（2個節(jié)點）和一個輸出層（1個節(jié)點）。輸入輸出層之間以及隱藏層與輸出層之間的所有節(jié)點均相互連接。激活函數(shù)為 Sigmoid 函數(shù)。上述神經(jīng)網(wǎng)絡的python實現(xiàn)如下：

import numpy as np# Sigmoid 激活函數(shù)def sigmoid(x):    return 1 / (1 + np.exp(-x))# 使用 sigmoid 導數(shù)進行非線性變換以及反向傳播計算梯度def sigmoid_derivative(x):    return x * (1 - x)def mse_loss(y_true, y_pred):    return np.mean(np.square(y_true - y_pred))class NeuralNetwork:    def __init__(self, input_nodes, hidden_nodes, output_nodes):        self.input_nodes = input_nodes        self.hidden_nodes = hidden_nodes        self.output_nodes = output_nodes        self.weights_ih = np.random.rand(self.input_nodes, self.hidden_nodes) - 0.5        self.weights_ho = np.random.rand(self.hidden_nodes, self.output_nodes) - 0.5        self.bias_h = np.random.rand(1, self.hidden_nodes) - 0.5        self.bias_o = np.random.rand(1, self.output_nodes) - 0.5    def feedforward(self, input_data):        hidden = sigmoid(np.dot(input_data, self.weights_ih) + self.bias_h)        output = sigmoid(np.dot(hidden, self.weights_ho) + self.bias_o)        return hidden, output    def backward(self, input_data, hidden, output, target_data, learning_rate=0.1):        # 計算損失函數(shù)的梯度        output_error = target_data - output        output_delta = output_error * sigmoid_derivative(output)        hidden_error = np.dot(output_delta, self.weights_ho.T)        hidden_delta = hidden_error * sigmoid_derivative(hidden)        self.weights_ho += learning_rate * np.dot(hidden.T, output_delta)        self.weights_ih += learning_rate * np.dot(input_data.T, hidden_delta)        self.bias_o += learning_rate * np.sum(output_delta, axis=0)        self.bias_h += learning_rate * np.sum(hidden_delta, axis=0)    # 根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，訓練多輪，更新神經(jīng)網(wǎng)絡的權(quán)重和偏置，最終得到正確的神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)    def train(self, input_data, target_data, epochs, learning_rate=0.5):        for _ in range(epochs):            hidden, output = self.feedforward(input_data)            self.backward(input_data, hidden, output, target_data, learning_rate)if __name__ == "__main__":    # 示例    X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])    Y = np.array([[0], [1], [1], [0]])    nn = NeuralNetwork(input_nodes=2, hidden_nodes=2, output_nodes=1)    print("Before training:")    _, output = nn.feedforward(X)    print(output)    nn.train(X, Y, epochs=2000, learning_rate=0.8)    print("After training:")    _, output = nn.feedforward(X)    print(output)    # 計算損失    loss = mse_loss(Y, output)    print("Loss:", loss)

首先，創(chuàng)建 XOR 問題的輸入和輸出數(shù)據(jù)集，分別存儲在 NumPy 數(shù)組中初始化權(quán)重與偏置然后，根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，訓練2000輪每輪訓練都會通過反向傳播更新各層的權(quán)重和偏置，最終得到正確的神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)上述簡單示例中，涉及到如下神經(jīng)網(wǎng)絡基本概念：前向傳播：利用若干個權(quán)重系數(shù)矩陣W,偏倚向量b來和輸入值向量x進行一系列線性運算和激活運算，從輸入層開始，一層層的向后計算，一直到運算到輸出層，得到輸出結(jié)果為值激活函數(shù):（Activation Function）是一種在神經(jīng)網(wǎng)絡中使用的非線性函數(shù)，用于將神經(jīng)元的累積輸入值轉(zhuǎn)換為輸出值。激活函數(shù)的主要目的是引入非線性特性，使得神經(jīng)網(wǎng)絡能夠?qū)W習并表示復雜的數(shù)據(jù)模式。如果沒有激活函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡將僅僅是一個線性回歸模型，無法處理復雜的問題。反向傳播：核心思想是通過優(yōu)化權(quán)重與偏置，從而逐漸減小預測輸出與真實值之間的差距，提高神經(jīng)網(wǎng)絡的性能。反向傳播過程開始于計算輸出層的誤差，即預測輸出與實際目標之間的差值。然后，這個誤差將從輸出層向后傳播到隱藏層。為了更新神經(jīng)網(wǎng)絡中的權(quán)重，我們需要計算損失函數(shù)相對于每個權(quán)重的梯度。我們使用鏈式法則（chain rule）將這些梯度分解為前一層的輸出、當前層的梯度和后一層的梯度。通過這種方式，我們可以得到每個權(quán)重的梯度，并用它們更新權(quán)重以最小化損失。損失函數(shù)：損失函數(shù)值在訓練過程中起到的作用是衡量模型預測結(jié)果與實際目標值之間的差距。在反向傳播過程中，我們實際上是通過損失函數(shù)的梯度來調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡的權(quán)重和偏置，從而使得損失值最小化。在上面的代碼示例中，我們計算了輸出層的誤差（output_error），這個誤差實際上就是損失函數(shù)的梯度。這里的損失函數(shù)是均方誤差（MSE），計算梯度的公式為：

output_error = target_data - output

在反向傳播過程中，我們通過該梯度來更新權(quán)重和偏置，以使得損失值最小化。因此，損失值在訓練過程中起到了關(guān)鍵作用。其中，Sigmoid 函數(shù)是一種常用的激活函數(shù)，用于神經(jīng)網(wǎng)絡中對節(jié)點輸出進行非線性轉(zhuǎn)換。Sigmoid 函數(shù)的數(shù)學表達式如下：

sigmoid(x) = 1 / (1 + e^(-x))

其中，x 是輸入值，e 是自然常數(shù)（約等于 2.71828）。Sigmoid 函數(shù)的輸出值范圍在 0 和 1 之間，具有平滑的 S 形曲線。當輸入值 x 趨向于正無窮大時，函數(shù)值接近 1；當輸入值 x 趨向于負無窮大時，函數(shù)值接近 0。因此，Sigmoid 函數(shù)可以將任意實數(shù)輸入映射到 (0, 1) 區(qū)間內(nèi)，使得網(wǎng)絡輸出具有更好的解釋性。此外，Sigmoid 函數(shù)的導數(shù)也可以方便地用其函數(shù)值表示，便于進行梯度下降優(yōu)化算法。然而，Sigmoid 函數(shù)也存在一些問題，例如梯度消失問題。當輸入值過大或過小時，Sigmoid 函數(shù)的梯度（導數(shù)）接近于 0，導致權(quán)重更新非常緩慢，從而影響訓練速度和效果。因此，在深度學習中，有時會選擇其他激活函數(shù)，如 ReLU（線性整流單元）等。另外，偏置（bias）的引入是為了增加模型的表達能力。具體來說，在 Sigmoid 激活函數(shù)中，偏置的作用如下：調(diào)整激活函數(shù)的輸出：在神經(jīng)網(wǎng)絡中，激活函數(shù)（如 Sigmoid 函數(shù)）用于對節(jié)點的線性加權(quán)和進行非線性轉(zhuǎn)換。偏置相當于一個常數(shù)值，可以使得激活函數(shù)的輸出在整體上向上或向下平移。這樣，激活函數(shù)可以在不同區(qū)域內(nèi)保持對輸入的敏感性，提高模型的擬合能力。提高模型的靈活性：加入偏置后，神經(jīng)網(wǎng)絡可以學習到更復雜的表示。偏置參數(shù)使神經(jīng)網(wǎng)絡能夠在沒有輸入（或輸入為零）時產(chǎn)生非零輸出。如果沒有偏置，即使權(quán)重參數(shù)不同，神經(jīng)元在輸入為零時的輸出也將相同。因此，引入偏置為神經(jīng)網(wǎng)絡提供了額外的自由度，使其能夠更好地擬合復雜的數(shù)據(jù)。以 Sigmoid 函數(shù)為例，一個神經(jīng)元的輸出可以表示為：output = sigmoid(w1 * x1 + w2 * x2 + ... + wn * xn + b)這里，w1、w2、...、wn 是輸入數(shù)據(jù)（x1、x2、...、xn）對應的權(quán)重，b 是偏置。通過調(diào)整偏置 b 的值，可以使 Sigmoid 函數(shù)的輸出整體上升或下降，從而改變神經(jīng)元的激活閾值。這使神經(jīng)網(wǎng)絡能夠更好地適應不同的數(shù)據(jù)分布，提高模型的泛化能力。FAQs梯度與函數(shù)導數(shù)的關(guān)系？梯度與導數(shù)密切相關(guān)，但它們有一些區(qū)別。對于單變量函數(shù)（即只有一個自變量的函數(shù)），梯度就是導數(shù)。導數(shù)表示該函數(shù)在某一點處的切線斜率。對于多變量函數(shù)（即有多個自變量的函數(shù)），梯度是一個向量，包含了函數(shù)在某一點處沿著各個坐標軸方向的偏導數(shù)。換句話說，梯度是一個向量，它將多個偏導數(shù)組合在一起，描述了多變量函數(shù)在各個方向上的變化情況。梯度的方向是函數(shù)在該點處變化最快的方向，梯度的大小表示函數(shù)在該點處的變化速率?？偨Y(jié)一下：對于單變量函數(shù)，梯度就是導數(shù)。對于多變量函數(shù)，梯度是一個包含所有偏導數(shù)的向量。 AI Advisor公眾號:?參考什么是神經(jīng)網(wǎng)絡？深度神經(jīng)網(wǎng)絡(DNN)

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